人工粘性辅助精确捕捉浅水激波——Lagrange法描述

  

(初稿：叶科奇；  修改：吴锋)

提起激波，可能常想到下面：

实际上海洋或者湖面也常有激波，最广为人知的钱塘江涌潮，就是一种典型的浅水激波。另一种典型的浅水激波是溃坝，如下图所示：当中间的水坝突然被抽走后，左边水位高，在重力作用下向右边涌去，形成浅水激波。

  

 

激波在数学上是间断解，在间断处导数不存在，数值求解时会产生震荡问题，如下图所示：绿线表示间断激波，而红线表示数值解。显然可以看到，数值解包含了虚假震荡，而且这些震荡会随着时间推移而逐渐变强，以至于数值解面目全非。

 

对于激波问题，最为成功的办法是数学家冯．诺依曼提出的人工粘性。此一人工粘性最早针对空气激波问题，后继被扩展到浅水激波。

 

众所周知，描述流体问题有两种方法：Euler方法和Lagrange方法，两者各有优点，目前Euler方法的使用面要大于Lagrange方法。冯．诺依曼的工作以及目前的激波问题也大多是基于Euler方法的。

 

相比Euler方法，Lagrange方法在追踪浅水波干湿面（干湿面是计算水动力学领域的超级大难题！！！）方面有独特优势。自2006年以来，国内钟万勰院士带领团队开始研究浅水波问题的Lagrange理论，并建立了基于Lagrange描述的浅水波方程。然而这一工作遗留了一个问题：Lagrange描述下，如何精确捕捉激波？

 

最近，叶科奇、赵悦琳等人对这一问题展开了具体的研究。他们基于冯．诺依曼的思想，为Lagrange描述的浅水方程构造了十余种人工粘性，并采用行波解和傅里叶分析两种数学方法，从十余种人工粘性中找出了最佳的自适应人工粘性。该人工粘性可以自动识别激波和常规水波：对于常规水波几乎没有影响，而对于激波则可起到光滑效果。下图是采用这种人工粘性计算的一组包含多个激波的水面在不平水底和干湿面共同影响下的演化过程。可以看到在整个仿真过程中，水面都没有毛刺（虚假震荡）。他们的工作以“An adaptive artificial viscosity for the displacement shallow water wave equation”为题发表在著名的应用数学期刊：Applied Mathematics and Mechanics（中科院一区）。

    叶科奇和赵悦琳是我的硕士研究生，2020年秋入学。二人聪慧、勤奋，刚来一年即有成果，发表科研生涯的第一篇SCI论文，而且第一篇SCI论文就是发表在中科院一区期刊上，科研生涯开了个好头，祝贺他们！