下面的内容以 中文 表述，力求在物理意义、数学形式以及常用符号之间建立清晰的对应关系，帮助你快速抓住每一项到底代表什么，以及它们是怎样从守恒定律推导出来的。
| 守恒量 | 对应的局部守恒形式（体积分） | 转化为控制体微分形式（偏微分） |
|---|---|---|
| 质量 | \(\displaystyle\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV = -\oint_{\partial V}\rho\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}\,dS\) | 连续性方程（质量守恒） |
| 动量 | \(\displaystyle\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\mathbf{u}\,dV = -\oint_{\partial V}\rho\mathbf{u}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n})\,dS + \oint_{\partial V}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\,dS + \int_{V}\rho\mathbf{f}\,dV\) | Navier‑Stokes 方程（动量守恒） |
| 能量 (可选) | \(\displaystyle\frac{d}{dt}\int_{V}\rho e\,dV = -\oint_{\partial V}(\rho e + p)\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,dS + \dots\) | 能量方程（热力学） |
符号说明
\(\rho\)：密度 (kg·m⁻³)
\(\mathbf{u}= (u,v,w)\)：流体速度向量 (m·s⁻¹)
\(\boldsymbol{\sigma}\)：应力张量，包含 压力 与 粘性应力 两部分
\(\mathbf{f}\)：单位质量的外部体力（如重力）(m·s⁻²)
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot(\rho \mathbf{u}) = 0 \]
| 项 | 含义 |
|---|---|
| \(\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}\) | 密度随时间部变化 |
| \(\nabla\!\cdot(\rho\mathbf{u})\) | 质量流入/流出控制体的散度（通量收敛） |
若密度恒定 \(\rho = \text{const}\)，则
\[\boxed{\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0} \]
意义：体积不随时间改变——任意截面的质量通量相等。
\[\boxed{ \rho\Bigl(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+ \mathbf{u}\!\cdot\!\nabla\mathbf{u}\Bigr) = -\nabla p + \nabla\!\cdot\boldsymbol{\tau} + \rho\,\mathbf{f}} \]
| 项 | 物理解释 |
|---|---|
| \(\displaystyle\rho\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\) | 局部惯性：固定点处速度随时间的加速（(F=ma)） |
| \(\displaystyle\rho\,\mathbf{u}\!\cdot\!\nabla\mathbf{u}\) | 对流惯性：随流体块运动进入不同速度梯度所产生的加速 |
| \(-\nabla p\) | 压力梯度力——把流体从高压区推向低压区 |
| \(\displaystyle\nabla\!\cdot\boldsymbol{\tau}\) | 黏性应力（粘性扩散），后文给出 \(\boldsymbol{\tau}\) 的具体表达式 |
| \(\rho\,\mathbf{f}\) | 体力（重力、离心力、电磁力等） |
\[\boxed{ \tau_{ij}= \mu\!\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) +\lambda\,\delta_{ij}\,\nabla\!\cdot\mathbf{u}} \]
\(\mu\)：动力粘度 (Pa·s)
\(\lambda\)：第二黏性系数（常取 \(-\tfrac{2}{3}\mu\)）
\(\delta_{ij}\)：克罗内克 δ
以 x‑方向为例：
\[\rho\!\Bigl(\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr) = -\,\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\Bigl(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\Bigr) +(\lambda+\mu)\,\frac{\partial}{\partial x}(\nabla\!\cdot\mathbf{u}) + \rho f_x . \]
\(y,z\) 分量类似，只是把 \(u\) 换成对应的 \(v,w\)。
当 \(\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0\) 且粘性系数为常数，第二黏性系数消失，方程简化为：
\[\boxed{ \rho\Bigl(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+ \mathbf{u}\!\cdot\!\nabla\mathbf{u}\Bigr) = -\nabla p + \mu\,\nabla^{2}\mathbf{u} + \rho\mathbf{f}} \]
拉普拉斯算子 \(\nabla^{2}\) 只对速度分量做二阶空间导数，体现 粘性扩散（动量的“黏性传递”）。
\[\rho \Bigl(\frac{\partial e}{\partial t}+ \mathbf{u}\!\cdot\!\nabla e\Bigr) = -p\,\nabla\!\cdot\mathbf{u} + \underbrace{\tau_{ij}\,\frac{\partial u_i}{\partial x_j}}_{\displaystyle\Phi\;(\text{粘性耗散})} + \nabla\!\cdot(k\nabla T) + q . \]
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \((e)\) | 单位质量的内能 (J·kg⁻¹) |
| \(\Phi\) | 粘性耗散功率，把动能转化为热 |
| \(k\) | 导热系数 |
| \(T\) | 温度 |
| \(q\) | 体积热源（辐射、化学反应等） |
提示：在不可压且等温的情况下，这个方程往往可以省略，直接把温度视为常数。
| 项目 | 数学形式 | “直观”意义 | 何时可以忽略 |
|---|---|---|---|
| 惯性（局部） | \(\rho\displaystyle\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\) | 流体块在固定点的加速；类似质量×加速度。 | 稳态 ( \(\partial/\partial t=0\)) 时消失。 |
| 惯性（对流） | \(\rho\,\mathbf{u}\!\cdot\!\nabla\mathbf{u}\) | 随着流体块的运动，它进入不同速度梯度区所产生的加速；相当于“惯性力”。 | 低 Reynolds 数 (黏性占优) 时可小到忽略。 |
| 压强梯度 | \(-\nabla p\) | 高压向低压推流体，类似弹簧把物体拉向平衡位置。 | 若压力场均匀（极少见）或在“无压驱动”如纯粘性拖曳中不显著。 |
| 黏性扩散 | \(\mu\nabla^{2}\mathbf{u}\) (不可压缩) 或 \(\nabla\!\cdot\tau\)（通用） | 速度差产生的内部摩擦，使动量在相邻流体层之间“扩散”。类似热传导中的 \(\kappa\nabla^{2}T\)。 | 极高 Reynolds 数、湍流大尺度上，黏性主要只出现在边界层/细小结构中。 |
| 体力 | \(\rho\mathbf{f}\) | 如重力 \(\rho\mathbf{g}\)、离心力、磁场力等外部作用。 | 若研究的流动不受显著外力（如微尺度无重）可省去。 |
把方程写成 无量纲 形式可以直接看到各项相对重要性。常用标度：
| 标度 | 符号 |
|---|---|
| 长度 \(L\) | 特征几何尺度（管径、翼弦长等） |
| 速度 \(U\) | 平均或入口速度 |
| 时间 \(T = L/U\) | 对流时间尺度 |
| 压力 \(\Delta p = \rho U^{2}\) | 动压 |
\[\underbrace{\frac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*}+ \mathbf{u}^*\!\cdot\!\nabla^*\mathbf{u}^*}_{\text{惯性 (Re)}} = -\nabla^* p^* + \frac{1}{\mathrm{Re}}\;\nabla^{*2}\mathbf{u}^* + \underbrace{\frac{L}{U^{2}}\,\mathbf{f}}_{\text{体力（可选）}} \]
雷诺数 \(\displaystyle \mathrm{Re}= \frac{\rho U L}{\mu}\)
\( \mathrm{Re} \gg 1\)：惯性主导 → 层流易过渡到湍流。
\( \mathrm{Re} \ll 1\)：黏性占优 → Stokes 流（如微尺度、粘稠液体），方程简化为 \(\nabla p = \mu\nabla^{2}\mathbf{u}\)。
其他常见无量纲数（在热流体或多相流中出现）：
| 参数 | 定义 | 主要影响 |
|---|---|---|
| Mach 数 \(Ma = U/c\) | 流速与声速比 | 决定是否需要考虑可压缩效应；(Ma<0.3) 常视为不可压。 |
| Froude 数 \(Fr = U/\sqrt{gL}\) | 动能与重力势能比 | 与自由表面波、河流/海浪等有关。 |
| Prandtl 数 \(Pr = \mu c_p/k\) | 粘性扩散 vs 热扩散 | 在耦合能量方程时出现。 |
| Weber 数 \(We = \rho U^{2}L/\sigma\) | 动能与表面张力比 | 多相流、液滴破裂等场景。 |
