一种新型低偏差点集构造方法——多体动力演化方法

(初稿：赵悦琳；  修改：吴锋)

参数随机问题广泛存在于结构，传热，流体等问题中。如下图的混凝土材料属性随机，流体模型密度随机等。

如何高效高精度实现随机系统统计矩的计算是各位学者十分关注的问题。统计矩的计算方法一般分为非统计方法和统计方法。常见的非统计方法有混沌多项式展开法和随机摄动方法。其中混沌多项式展开法的计算成本较高，并且只能求解特殊分布的随机变量如（均匀分布，正态分布等）；随机摄动法的计算精度又受展开阶数和随机变量变异性的影响。由于以上这些非统计方法的局限性，相关研究人员逐渐将视线转移到了计算方案简单明了，实现较轻松的统计方法，也就是蒙特卡罗法。当然，蒙特卡罗法也有样本均匀性差的缺点，这需要使用大量样本点来弥补，这也占用了大量的计算时间。因此许多学者从事点集偏差的研究，并构造出一系列的低偏差点集。基于低偏差点集的蒙特卡罗方法，一般称为拟蒙特卡罗方法。低偏差点集不仅对于统计问题十分重要，在机器学习、智能优化、试验设计、物理模型仿真等方面均有着重要的应用价值。

许多学者基于数论构造出一系列的低偏差点集，比如华罗庚和王元两位先生提出的H-W点集以及国外研究人员提出的Halton点集、Sobol点集等。这些低偏差点集主要假定随机变量概率分布是均匀的，并落在立方体内。但是这些传统低偏差点集也有不足之处：（1）生成点集具有相关性，即如左图所示，HW方法生成的高维点集在向低维投影时，投影点常常靠的非常近；（2）无法直接处理分布范围为非立方体的随机变量；（3）无法直接处理一般性分布或非独立的随机变量，随机变量如右图所示。

最近，我们团队针对前两点不足展开了具体的研究。受自然界中许多均质材料分布模型及多体生物分布模型具有极好的均匀性的启发，我们提出了多体问题的静态解就是一种低偏差点集的设想，找到了多体问题和低偏差点集的隐藏关系，结合多体运动的最小势能原理，提出了一种全新的低偏差点集构造方法——动力演化方法（DEM）。发展了多体动力学演化模型下无偏的低偏差点集的高效高精度数值生成算法，实现了算法控制参数的自适应选取，并通过算例验证了该算法生成的一系列低偏差点集的优越性。同时用DEM方法和HS方法在不同维度和样本数下计算八个经典的积分测试函数（左）和两个经典偏差（右），对比结果如下。其中蓝色指DEM效果更佳，黄色指HS效果更佳，绿色指两者持平。由图可得DEM方法的计算结果占有绝对性优势。

    DEM方法还可以构造的低偏差点集可以直接处理非立方体情况（左图）；并对智能优化算法，如HCLPSO也有加速作用（右图）。

所有生成的低偏差点集已经上传至团队网站rocewea.com，可直接下载使用。相关工作以“A multi-body dynamical evolution model for generating the point set with best uniformity”为题由智能计算权威期刊Swarm and Evolutionary Computation(中科院1区Top期刊，影响因子10.267)在线发表。

赵悦琳是我的硕士研究生，2020年秋入学，聪慧、勤奋。目前她已经发表3篇文章，包括两篇发表在中科院一区期刊的SCI论文。今年秋天，她将转读博士，期望希望她保持努力，不负芳华，博士阶段能产出更多优秀成果！