工程力学包含不确定性，如何保证结果是可信的？

  

（初稿：杨玉祥；修改：吴锋）

 

“世界是不确定性的”，在工程实际问题当中不确定性无处不在，它们像捉摸不定的影子，影响着每一个工程决策和结果。就像下图所示的大连星河湾大桥的材料属性可能因为浇筑混凝土时的工况不同导致产生一定的不确定性。

 

美丽的星河湾大桥，其材料属性可能是不确定性的

 

由于这些不确定性变量的存在，导致了许多工程问题的结果，也就是响应，充满了不确定性。但别担心，我们有统计学这位智慧的向导，它告诉我们，这些不确定性虽然复杂，但它们遵循着一定的概率分布规律，例如在概率课上学的那些经典分布。上图展示的大桥的材料属性的分布可能就满足下图所示的高斯分布。

 

星河湾大桥的不确定性材料属性可能满足的高斯分布

 

如果我们能够从多次测量的信息得到不确定性变量的概率密度分布的话，那么我们就可以进一步基于该分布采样得到无穷个样本，再利用每个样本计算得到对应工程问题的响应（结果），最后根据所计算的结果得到响应对应的统计信息，如均值、方差、概率密度函数。恭喜你，到这里你就基本上学会了最广泛的不确定性分析方法——蒙特卡洛法。然而，无穷个样本在现实中是无法满足的，因此我们往往只能取有限个样本，可以证明，当样本点越均匀时，响应的统计特性计算精度也就越高。因此，目前的蒙特卡洛法多是采用有限的均匀的样本进行计算的。然而，目前计算机也无法产生真正的均匀的随机数，因此有诸多科学家提出了诸多数学意义上的极度均匀的点集，例如我国大名鼎鼎的数学家华罗庚院士和王元院士就提出过华-王点集。而基于这些均匀性点集的蒙特卡洛法就是拟蒙特卡洛法，其计算效率要优于蒙特卡洛法。

 

华罗庚院士（左）和王元院士（右）

 

尽管拟蒙特卡洛法的效率要优于蒙特卡洛法，但是在进行复杂工程结构的不确定性分析时，单次计算（即单个样本的计算）的计算成本就极大，导致了计算过程变得漫长。同时，真实的不确定性变量服从的分布可能十分复杂，具有非对称、多峰等特性，如下图就是一个双峰分布。然而，目前还没有有效地手段判断拟蒙特卡洛法取多少个样本点进行计算能够达到工程所需的精度。一般而言，为了确保精度达标，工程实际中会采用大量的样本点进行计算，如100000个甚至更多，这使得拟蒙特卡洛法的效率也并不是很优异。因此，如何针对服从复杂概率分布的不确定性参数进行对应的分析从而获得高可信度的统计结果对工程结构来说具有重要意义。

 

复杂的双峰分布

 

近期，我们团队黄东威博士和我合作针对这一问题开展了深入讨论，提出了一种新的可信度判断准则，它就像是一把精准的尺子，帮助我们在有限的计算资源下，有效地衡量和控制计算成本，同时确保我们的工程分析既精确又高效，用于有效处理具有不确定性参数的复杂工程问题。当响应的统计信息的波动程度（标准差与均值之商）小于我们给定的容许误差时，即可认为拟蒙特卡洛法的计算结果满足我们指定的精度要求。同时，该可信度判断准则还可结合黄东威博士和我之前合作提出的最小二乘拟蒙特卡洛法（详见本人教师主页博客《基于自适应权重的拟蒙特卡罗法》，详细工作请参考文章D. W. Huang, F. Wu*, S, Zhang, B. S. Chen, H. W. Zhang, A high-performance calculation scheme for stochastic dynamic probles, Mechanical Systems and Signal Processing，中科院1区 Top 期刊，影响因子 8.5），进一步提高不确定性分析效率。

 

为验证所提出方法的效率，我们对一个具有随机时变荷载（模拟强风荷载等工程中的不确定性荷载）下悬索桥（示意图如下图所示）的动力响应悬索桥。

 

受到随机时变荷载作用的悬索桥模型

 

通过相关计算，我们发现利用可信度判断准则的拟蒙特卡洛法仅需要38618个样本点即可达到200000个拟蒙特卡洛法的计算精度，而利用可信度判断准则的最小二乘拟蒙特卡罗法仅需要2100个样本点。这无疑能够给工程师在实际不确定性工程分析时提供一种能保证精度前提下大幅提高计算效率的不确定性分析方法。

 

有关本博客的详细工作详见文章D. W. Huang, F. Wu*, Y. L. Zhao, J. Yan, H. W. Zhang, Application of high-credible statistical results calculation scheme based on least squares Quasi-Monte Carlo method in multimodal stochastic problems, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 中科院1区 Top 期刊，影响因子 6.9。

 

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering由Elsevier出版，成立于1972年，是计算力学领域旗舰期刊。专注于发表应用计算方法在力学和工程领域的高质量研究论文。它涵盖了广泛的主题，包括但不限于结构分析、流体力学、动力学、热力学、优化和多尺度建模等。